Lieu géométrique et nombres complexes (1) - Corrigé

Énoncé

Déterminer le lieu des points $\text{M}(z)$ tels que ${\displaystyle \frac{2}{z+i}}$ soit un nombre réel.

Solution

Point de vue algébrique

La condition à satisfaire ici est : $\text{I}\text{m}\left({\displaystyle \frac{2}{z+i}}\right)=0$ .
On pose $z=x+iy$   avec $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$ . On a : $\begin{array}{rl}\frac{2}{z+i}& =\frac{2}{x+iy+i}=\frac{2}{x+i(y+1)}=\frac{2(x-i(y+1))}{(x+i(y+1))(x-i(y+1))}=\frac{2x+i(-2y-2))+y}{x^2+(y+1{)}^2}\end{array}$

donc :
$\begin{array}{rl}\text{I}\text{m}\left(\frac{2}{z+i}\right)=0⟺\frac{-2y-2}{x^2+(y+1{)}^2}=0& ⟺-2y-2=0\text{ et }{x}^2+(y+1{)}^2\ne 0\\ & ⟺y=-1\text{ et }(x;y)\ne (0;-1)\end{array}$

Finalement, le lieu des points $\text{M}(z)$ tels que ${\displaystyle \frac{2}{z+i}}$ soit réel est la droite d'équation $y=-1$ privée du point de coordonnées $(0;-1)$ . D'un point de vue algébrique, on écrit : $\{z\in \mathbb{C}:\text{I}\text{m}(z)=-1\}\setminus \{(0;-1)\}$ .

Point de vue géométrique

On note $\text{A}$ le point du plan complexe d'affixe $z_{\text{A}}=-i$ .
Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $z\ne -i$ . On note $\text{M}$ le point du plan complexe d'affixe $z$ .
On a ${\displaystyle \frac{2}{z+i}}$ réel  $⟺\arg \left({\displaystyle \frac{2}{z+i}}\right)\equiv 0[\pi ]$
$⟺\arg (2)-\arg (z+i)\equiv 0[\pi ]$
$⟺\arg (z+i)\equiv 0[\pi ]$
$⟺\arg (z-z_{\text{A}})\equiv 0[\pi ]$
$⟺(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\text{A}\text{M}})\equiv 0[\pi ]$
Donc les points $\text{M}(z)$ tels que ${\displaystyle \frac{2}{z+i}}$ soit un nombre réel sont les points de la droite passant par $\text{A}$ et parallèle à l'axe des abscisses, privée du point de coordonnées $(0;-1)$ .